低配网络的分布式 GPU 训练¶

3.1 预热调参¶

对于正常的训练，使用 DGC 一般需进行预热训练，否则可能会有精度损失。如下图是 ResNet50 模型 Imagenet 数据集的训练结果，未进行预热训练的 DGC 最终损失了约 0.3%的精度。

预热训练调参可参照论文的设置。对图像分类，论文在 Cifar10 和 ImageNet 数据集上共 164 和 90 个 epochs 的训练中都采用了 4 个 epochs 的预热训练。在语言模型 PTB 数据集上，在共 40 个 epochs 的训练中选择了 1 个 epoch 进行预热训练。在语音识别 AN4 数据集上，80 个 epochs 中选择 1 个 epoch 进行预热训练。 论文中使用了 75%, 93.75%, 98.4375%, 99.6%, 99.9%稀疏度逐渐提升的策略。由于 paddle 稀疏梯度聚合通信使用了 AllGather，通信量会随卡数增加而增长，所以在卡数较多时不推荐较低稀疏度的预热训练。如 75%稀疏度时每张卡会选择 25%的梯度进行通信，卡数为 32 时通信量是正常 dense 通信的 32*(1-0.75)=8 倍，所以前几个 epoch 使用正常的 dense 通信为佳。可参照如下写法

# 1. 以 1252 个 step 为一个 epoch，前 2 个 epochs 使用正常 dense 通信，后 3 个 epochs 逐步提升稀疏度为 99.9%
optimizer = fluid.optimizer.DGCMomentumOptimizer(
    learning_rate=0.001, momentum=0.9, rampup_begin_step=1252*2,
    rampup_step=1252*3, sparsity=[0.984375, 0.996, 0.999])
# 2. 前面 4 个 epochs 都使用 dense 通信，之后默认 0.999 稀疏度运行
optimizer = fluid.optimizer.DGCMomentumOptimizer(
    learning_rate=0.001, momentum=0.9, rampup_begin_step=1252*4)

对于 Fine-tuning 训练，现测试可无需预热训练，从第 0 个 epoch 直接使用 DGC 即可。

# 从第 0 步开始 DGC 稀疏通信
optimizer = fluid.optimizer.DGCMomentumOptimizer(
    learning_rate=0.001, momentum=0.9, rampup_begin_step=0)

3.2 适用场景¶

DGC 稀疏通信在低带宽通信瓶颈时会有较大的性能提升，但在单机多卡及 RDMA 网络通信并非瓶颈情况下，并不会带来性能上的提升。同时由于 AllGather 的通信量会随卡数的增多而增大，所以 DGC 的多机训练规模也不宜过大。故 DGC 适用于低配网络，同时节点规模不宜过大，如>128 张卡。在云网络或高带宽网络设备昂贵时，DGC 可有效降低训练成本。

4.1 梯度稀疏¶

DGC 的基本思路是通过只传送重要梯度，即只发送大于给定阈值的梯度来减少通信带宽的使用。为避免信息的丢失，DGC 会将剩余梯度在局部累加起来，最终这些梯度会累加大到足以传输。 换个角度，从理论依据上来看，局部梯度累加等同于随时间推移增加 batch size，（DGC 相当于每一个梯度有自己的 batch size）。设定 $F(w)$ 为需要优化的 loss 函数，则有着 N 个训练节点的同步分布式 SGD 更新公式如下 $$ F(w)=\frac{1}{|\chi|}\sum_{x\in\chi}f(x, w), \qquad w_{t+1}=w_{t}-\eta\frac{1}{N b}\sum_{k=0}^{N}\sum_{x\in\mathcal{B}_{k,t}}\nabla f\left(x, w_{t}\right) \tag{1} $$ 其中$\chi$是训练集，$w$是网络权值，$f(x, w)$是每个样本$x \in \chi$的 loss，$\eta$是学习率，N 是训练节点个数，$\mathcal{B}_{k, t}$代表第$k$个节点在第$t$个迭代时的 minibatch，大小为 b。 考虑权重的第 i 个值，在 T 次迭代后，可获得 $$ w_{t+T}^{(i)}=w_{t}^{(i)}-\eta T \cdot \frac{1}{N b T} \sum_{k=1}^{N}\left(\sum_{\tau=0}^{T-1} \sum_{x \in \mathcal{B}_{k, t+\tau}} \nabla^{(i)} f\left(x, w_{t+\tau}\right)\right) \tag{2} $$ 等式 2 表明局部梯度累加可以被认为 batch size 从$Nb$增大为$NbT$，其中 T 是$w^{(i)}$两次更新的稀疏通信间隔。

4.2 局部梯度累加改进¶

正常情况，稀疏更新会严重影响收敛性。DGC 中采用动量修正(Momentum Correction)和局部梯度裁减(local gradient clipping)来解决这个问题。

4.2.1 动量修正¶

有着 N 个节点分布式训练中 vanilla momentum SGD 公式， $$ u_{t}=m u_{t-1}+\sum_{k=1}^{N}\left(\nabla_{k, t}\right), \quad w_{t+1}=w_{t}-\eta u_{t} \tag{3} $$ 其中$m$是动量因子，$N$是节点数，$\nabla_{k, t}=\frac{1}{N b} \sum_{x \in \mathcal{B}{k, t}} \nabla f\left(x, w{t}\right)$。 考虑第 i 个权重$w^{(i)}$，在 T 次迭代后，权重更新公式如下， $$ w_{t+T}^{(i)}=w_{t}^{(i)}-\eta\left[\cdots+\left(\sum_{\tau=0}^{T-2} m^{\tau}\right) \nabla_{k, t+1}^{(i)}+\left(\sum_{\tau=0}^{T-1} m^{\tau}\right) \nabla_{k, t}^{(i)}\right] \tag{4} $$ 如果直接应用动量 SGD 到稀疏梯度更新中，则有公式， $$ v_{k, t}=v_{k, t-1}+\nabla_{k, t}, \quad u_{t}=m u_{t-1}+\sum_{k=1}^{N} \operatorname{sparse}\left(v_{k, t}\right), \quad w_{t+1}=w_{t}-\eta u_{t} \tag{5} $$ 其中$v_k$是训练节点 k 上的局部梯度累加项，一旦$v_k$大于某一阈值，则会在第二项中压缩梯度进行动量更新，并使用 sparse()函数获得 mask 清空大于阈值的梯度。 $w^{(i)}$在 T 次稀疏更新后的权重为, $$ w_{t+T}^{(i)}=w_{t}^{(i)}-\eta\left(\cdots+\nabla_{k, t+1}^{(i)}+\nabla_{k, t}^{(i)}\right) \tag{6} $$ 相比传统动量 SGD，方程 6 缺失了累积衰减因子$\sum_{\tau=0}^{T-1} m^{\tau}$，会导致收敛精度的损失。如下图 A，正常梯度更新从 A 点到 B 点，但是方程 6 则从 A 点到 C 点。当稀疏度很高时，会显著降低模型性能，所以需要在方程 5 基础上对梯度进行修正。

若将方程 3 中速度项$u_t$当作“梯度”，则方程 3 第二项可认为是在”梯度“$u_t$上应用传统 SGD，前面已经证明了局部梯度累加在传统 SGD 上是有效的。因此，可以使用方程 3 局部累加速度项$u_t$而非累加真实的梯度$\nabla_{k, t}$来修正方程 5， $$ u_{k, t}=m u_{k, t-1}+\\nabla_{k, t}, \\quad v_{k, t}=v_{k, t-1}+u_{k, t}, \\quad w_{t+1}=w_{t}-\\eta \\sum_{k=1}^{N} \\operatorname{sparse}\\left(v_{k, t}\\right) \\tag{7} $$ 修正后，如上图(b)，方程可正常从 A 点到 B 点。除了传统动量方程修正，论文还给出了 Nesterov 动量 SGD 的修正方程。 #### 4.2.2 局部梯度修剪 梯度修剪是防止梯度爆炸的常用方法。这方法由 Pascanu 等人在 2013 年提出，当梯度的 l2-norms 和大于给定阈值时，就对梯度 rescale。正常梯度修剪在梯度聚合后使用，而 DGC 因为每个节点独立的进行局部梯度累加，所以 DGC 在使用$G_t$累加前对其进行局部梯度修剪。阈值缩放为原来的$N^{-1/2}$ $$ thr_{G^{k}}=N^{-1 / 2} \\cdot thr_{G} \\tag{8} $$ ### 4.3 克服迟滞效应 因为推迟了较小梯度更新权重的时间，所以会有权重陈旧性问题。稀疏度为 99.9%时大部分参数需 600 到 1000 步更新一次。迟滞效应会减缓收敛并降低模型精度。DGC 中采用动量因子掩藏和预热训练来解决这问题。 #### 4.3.1 动量因子掩藏 DGC 中使用下面方程来掩藏动量因子减缓陈旧性问题。 $$ Mask \\leftarrow\\left|v_{k, t}\\right|>t h r, \\quad v_{k, t} \\leftarrow v_{k, t} \\odot \\neg Mask, \\quad u_{k, t} \\leftarrow u_{k, t} \\odot \\neg Mask \\tag{9} $$ 此掩码可以停止延迟梯度产生的动量，防止陈旧梯度把权重引入错误的方向。

4.4 正则化(Weight Decay)项修正¶

Paddle 框架以 Weight Decay 的形式实现正则化。以 L2Decay 为例，公式(3)中传统 momentum 添加 weight decay 后公式为 $$ G_{t}=\sum_{k=1}^{N}\left(\nabla_{k, t}\right)+\lambda w_{t}, \quad u_{t}=m u_{t-1}+G_{t}, \quad w_{t+1}=w_{t}-\eta u_{t} \tag{10} $$ 其中$\lambda$为 Weight Decay 系数，$G_{t}$为添加 L2Decay 项之后的聚合梯度。由于在公式 7 中进行了局部动量修正，所以按照相同思路在局部梯度上运用修正的 Weight Decay 项。如下公式在局部梯度上添加局部 Weight Decay 项即可。 $$ \nabla_{k, t}=\nabla_{k, t}+\frac{\lambda}{N} w_{t} \tag{11} $$ 在模型实际训练中，通常会设置 weight decay 的系数$\lambda=10^{-4}$，在卡数较多如 4 机 32 卡的情况下局部 weight decay 系数为$\frac{\lambda}{N}=\frac{10^{-4}}{32}=3.125*10^{-6}$，在数值精度上偏低，测试训练时会损失一定精度。为此还需对局部 weight decay 项进行数值修正。如下公式， $$ \nabla_{k, t}^{'}=N \nabla_{k, t}+\lambda w_{t}, \quad G_{t}^{'}=\sum_{k=1}^{N}\left(\nabla_{k, t}^{'}\right)=N\sum_{k=1}^{N}\left(\nabla_{k, t}\right)+N\lambda w_{t}, \quad G_{t}=\frac{G_{t}^{'}}{N}=\sum_{k=1}^{N}\left(\nabla_{k, t}\right)+\lambda w_{t} \tag{12} $$ 具体做法为对局部梯度乘以卡数求得$\nabla_{k, t}^{'}$，此时$\lambda$项则无需除以卡数，聚合梯度求得$G_{t}^{'}$再对聚合梯度除以卡数得到$G_{t}$即可。